欧拉定理是什么东西
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。
内容
在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:
欧拉定理
折叠 证明
将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然，共有φ(n)个数)
我们考虑这么一些数:
m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)
1)这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些)，就有:
mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的更大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。
2)这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.
由1)和2)可知，数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).
故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)
或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)
或者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。
可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n)，即a^[φ(n)]≡1 (mod n)，得证。
费马小定理:
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论:对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。
折叠 应用
首先看一个基本的例子。令a
= 3，n =
5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数])。计算:a^{φ(n)} = 3^4
=81，而81= 80 + 1 Ξ 1 (mod 5)。与定理结果相符。
这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod
10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。
欧拉定理是什么,
在数论中,欧拉定理（Euler Theorem,也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质
欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉,该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一
欧拉定理实际上是费马小定理的推广
欧拉定理是什么东西
1、初等数论中的欧拉定理：对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明：
首先证明下面这个命题：
对于 *** Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑 *** S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此
任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
费马定理:
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面几何里的欧拉定理：（1） (Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．
证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心．
连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分DBAC，故D为弧BC的中点．
连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．
由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）
但DB=DI（可连BI，证明DDBI=DDIB得），
故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．
而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．
（2）四边形ABCD的两条对角线AC、BD的中点分别为M、N,则：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.
证明：如右上图，连接BD、BM，由中线公式有AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2).DA^2+CD^2=2(DM^2+AM^2,又BM^2+DM^2=2(BN^2+MN^2),4AM^2=AC^2, 4BN^2=BD^2,故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(BM^2+DM^2)+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2
注：当A、B、C、D为空间四点时，结论依然成立，且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2,此结论为第四届美国数学奥林匹克试题
欧拉定律是什么
欧拉定理
（1）背景：欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学），如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学。
（2）历史：有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2”，其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它。欧拉在1750年独立地发现了这个公式，并于1752年发表了它。由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。
欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导．
欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+F=2这个关系。V-E+F 被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年)等。
1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的 *** ，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．
欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．
欧拉公式有4条
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，是面数，则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫之一类多面体
等等
其实欧拉公式是有4个的，上面说的都是多面体的公式
euler公式是什么？
euler公式是欧拉公式，英文全称为Euler's formula。
欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的，是数学界最著名、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。R+ V- E= 2就是欧拉公式。
作用：
欧拉公式容易理解的有两个作用，一个是用于多面体的，而另外—个是用于级数展开的。欧拉公式数学中起到至关作用的数字被它联系了起来，两个超越数,自然对数的底e和圆周率π两个单位，虚数单位和自然数的单位1以及人类数学史上最伟大的发现0。因此在数学家的眼中，欧拉公式应是上帝的公式。
之一个证明欧拉公式的人是20岁的柯西，他通过多面体设想的 *** 肯定了欧拉公式存在的意义。欧拉公式的种变换，欧拉恒等式它被称作是数学中最美妙的一个公式。
欧拉定理公式
欧拉定理公式：e^（ix）=cosx+isinx
其中e是自然对数的底，i是虚数单位
欧拉定理公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律
定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学，即用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料做成图形，并研究在这种变形过程中不变的性质
什么是欧拉定理？
复变函数论里的欧拉公式定理内容
e^ix=cosx+isinx
e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的 *** 得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。
“上帝创造的公式”
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
