三角形的重心是什么？
三角形的重心就是三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心就是三角形的中心。
三角形重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；重心到三角形3个顶点距离的平方和最小；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；重心是三角形内到三边距离之积更大的点。
扩展资料
重心的性质
1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3）。
三角形重心性质
三角形重心性质：
1、三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、三角形的重心和三个顶点组成的三个三角形面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、三角形的重心是三角形内到三边距离之积更大的点。
4、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
三角形的五心定理
①重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
②外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
③垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
④内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
⑤旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心是什么？
三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
重心定义：三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
性质证明：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
证明二
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明 *** ：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O，A分别作a边上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可证S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
证法一：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x0，y0） 则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x0)2+(y1-y0)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x3-x0)2+(y3-y0)2
=3x02-2x0(x1+x2+x3)+3y02-20y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32
=3[x0-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y0-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
最终得出结论。
证法二：由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3
5、三角形内到三边距离之积更大的点。
证明：如图所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。
∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S
∴aa'+bb'+cc'=2S
由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得更大值。
此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。
∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。
同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。
∴当a'b'c'更大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积更大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+ *** G^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+ *** G^2
证明：GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)
GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)
GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)
GA^2 + GB^2 + GC^2 + *** G^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2.
连接EB,EC,
四边形GBEC为平行四边形.
EB = GC
延长射线PG,
过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F.
过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H.
BE与PG的延长线的交点为点Q.
则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF
GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)
HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)
而
GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),
因此,
GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,
GA^2 + GB^2 + GC^2 + *** G^2
= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
= PA^2 + PB^2 + PC^2
利用上面的结论,
令P与A重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2
= AB^2 + AC^2 ...(1)
令P与B重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2
= AB^2 + BC^2 ...(2)
令P与C重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2
= BC^2 + AC^2 ...(3)
(1),(2),(3)相加,有
3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],
GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.
证毕.
三角形的重心怎么求
三角形重心是三角形三边中线的交点.
根据重心的性质,三边中线必交于一点.
所以作三角形任意两边的中线,其交点就是此三角形的重心.
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
证明一
三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.
证明：过E作EH平行BF.
∵AE=BE且EH//BF
∴AH=HF=1/2AF（中位线定理）
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴EG=1/2CG（⊿CFG∽⊿CHE）
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
证明二
证明 *** ：
在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高H1,H可知OH1=1/3AH 则,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.(等边三角形）
证明 *** ：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最终得出结论.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,
即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积更大的点.
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ,则M点为△ABC的重心,反之也成立.
7、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、相同高三角形面积比为底的比,相同底三角形面积比为高的比.
证明 *** ：
∵D为BC中点,
∴BD=CD,
又∵h△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD,
∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD,
即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,
∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.
同理,
∵E为AC中点,
∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.
∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,
即S△BOF=S△AOF.
∴BF=AF,
∴CF为AB边上的中线,
即三角形的三条中线相交于一点.
三角形重心
三角形重心的定义是三角形三条中线的交点。
数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。
对于均质物体，如在几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。下面介绍几种常用的确定重心位置的 *** 。
